INECUACIONES LINEALES

Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer grado

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Trazar en la recta real la solución de una inecuación lineal de la forma $ax$ + b < c y expresarla en la forma de intervalo o como conjunto.
• Trazar en la recta real la solución de cualquier inecuación lineal.

Introducción

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.
Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de x para los cuales se cumple la desigualdad.
Consideremos el punto x=3 en la recta real.
Este punto es frontera entre $x<3$ y $x$ > 3 . Es decir, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple $x$ < 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la izquierda de 3. De igual forma, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple $x$ > 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la derecha de 3, como se muestra en la siguiente figura:

De igual forma, $x$ + 1 = 4 es frontera entre $x$ + 1 < 4 y $x$ + 1 > 4
y, en general, $a$ x + b = c es frontera entre $a$ x + b < c y $a$ x + b > c

Método general para resolver inecuaciones lineales

Para resolver una inecuación de la forma:

$a$ x + b < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Resolver la ecuación $a$ x + b = c para hallar la frontera entre $a$ x + b < c y $a$ x + b > c .
2. Dividir la recta real usando la solución hallada en el paso anterior como frontera.
3. Determinar el intervalo que nos interesa. Es decir, para el cual la desigualdad es cierta.
4. Escribir la solución. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación $x$ + 1 < 4

Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación $x$ + 1 = 4 . $x+1$ = 4 x+1 -1 = 4 -1 x = 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
$x+1$ < 4 0 +1 < 4 1 < 4 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.	$x+1$ < 4 4 +1 < 4 5 < 4 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la izquierda de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto:$x$ x < 3 Expresando la solución como intervalo$($ - ∞ , 3 ) Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación $6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x

Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación $6$ x - 4 = 2 + 8 x . $6$ x - 4 = 2 + 8 x 6 x - 4 + 4 - 8 x = 2 + 8 x + 4 - 8 x - 2 x = 6 - 2 x - 2 = 6 - 2x = - 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=-3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
$6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 4 ) - 4 ≤ 2 + 8 (- 4 ) - 28 ≤ - 30 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.	$6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 2 ) - 4 ≤ 2 + 8 ( -2 ) - 16 ≤ - 14 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la derecha de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto:$x$ x ≥ - 3 Expresando la solución como intervalo$[$ - 3 , ∞ ) Gráficamente

Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación $5$ 7 x - 32 < 72

Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación $5$ 7 x - 3 2 = 7 2 . Cuando las ecuaciones involucran fracciones, resulta más sencillo primero multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo comun denominador, en este caso el mínimo comun denominador es 14. $\frac{5}{}$ 7 x - 3 2 = 7 2 ( 14 ) ( 5 7 x - 3 2 ) = ( 14 ) ( 7 2 ) 10 x - 21 = 49 10 x - 21+ 21 = 49 + 21 10 x = 70 10 x 10 = 70 10 x = 7
Paso 2: Dividir la recta real usando x=7 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
$\frac{5}{}$ 7 x - 3 < 2 5 7 ( 0 ) - 3 < 2 0 - 3 < 2- 3 < 2 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.	$\frac{5}{}$ 7 x - 3 < 2 5 7 ( 8 ) - 3 < 2 40 7 - 3< 2 19 7 < 2 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la izquierda de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto:$x$ x < 7 Expresando la solución como intervalo$($ - ∞ , 7 ) Gráficamente